בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3 – התפלגות נורמלית: תחרות קפיצה לגובה3 יחידות 372 · שיעור 6

בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3

בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3 – התפלגות נורמלית: תחרות קפיצה לגובה

פרק 1 – התפלגות נורמלית

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – התוצאה הממוצעת

3סעיף א (2) – הערכים בגרף

4סעיף ב – אחוז המשתתפים מעל 1.5

5סעיף ג – מספר המשתתפים

6סעיף ד – האם דני קיבל מדליה?

7סעיף ה – דני או אריאל?

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכה תחרות קפיצה לגובה. התוצאות שהשיגו המשתתפים בתחרות התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 0.2.

התוצאות שהשיגו 16% מן המשתתפים היו נמוכות מ־1.2 מטר.

א. (1) מצאו את התוצאה הממוצעת בתחרות.

(2) בסוף השאלה מוצג גרף ההתפלגות הנורמלית. השלימו במלבנים הריקים שבגרף את התוצאות בתחרות.

📄 נוסח השאלה · המשך

ב. מצאו את אחוז המשתתפים בתחרות שהתוצאה שלהם הייתה גבוהה מ־1.5 מטר.

התוצאות של 62 משתתפים היו גבוהות מ־1.5 מטר.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה משתתפים סך הכול השתתפו בתחרות?

2% מן המשתתפים, אלה שהשיגו את התוצאות הגבוהות ביותר בתחרות, קיבלו מדליה. התוצאה של דני בתחרות הייתה 1.73 מטר.

ד. האם דני קיבל מדליה? נמקו את תשובתכם.

📄 נוסח השאלה · המשך

אריאל השתתף בתחרות, וציון התקן של התוצאה שלו היה 2.4.

ה. מי השיג תוצאה גבוהה יותר בתחרות, דני או אריאל? נמקו את תשובתכם.

סעיף א (1) – התוצאה הממוצעת

16% מהמשתתפים קפצו פחות מ־1.2 מטר. נצבור אחוזים מהקצה השמאלי של הגרף:

📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמלית

0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%

כלומר 1.2 נמצא שני מלבנים משמאל לממוצע (המלבנים של 15% ושל 19%). כל מלבן הוא חצי סטיית תקן, ולכן 1.2 נמוך מהממוצע בסטיית תקן אחת שלמה, כלומר ב־0.2:

ממוצע = 1.2 + סטיית תקן

נציב סטיית תקן = 0.2:

ממוצע = 1.2 + 0.2 = 1.4

📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמלית

כל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)

סעיף א (1) – התוצאה הממוצעת · המשך

ממוצע = 1.2 + 0.2 = 1.4

✅ פתרון סופי: התוצאה הממוצעת היא 1.4 מטר

סעיף א (2) – הערכים בגרף

כל מלבן הוא חצי סטיית תקן:

📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמלית

רוחב מלבן = סטיית תקן2

נציב סטיית תקן = 0.2:

רוחב מלבן = 0.22 = 0.1

באמצע הגרף הממוצע 1.4. כל קו ימינה מוסיף 0.1, וכל קו שמאלה מוריד 0.1:

1.5 , 1.6 , 1.7 , 1.8 , 1.9

📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמלית

כל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)

סעיף א (2) – הערכים בגרף · המשך

1.5 , 1.6 , 1.7 , 1.8 , 1.9

ושמאלה:

1.3 , 1.2 , 1.1 , 1 , 0.9

✅ פתרון סופי: משמאל לימין:
0.9 , 1 , 1.1 , 1.2
1.3 , 1.4 , 1.5 , 1.6
1.7 , 1.8 , 1.9

סעיף ב – אחוז המשתתפים מעל 1.5

1.5 נמצא מלבן אחד מימין לממוצע. נחבר את כל המלבנים שמימין ל־1.5:

📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמלית

15% + 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 31%

דרך נוספת: מימין לממוצע יש 50%, ומהם 19% בין 1.4 ל־1.5:

50% − 19% = 31%

✅ פתרון סופי: 31%

📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמלית

כל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)

סעיף ג – מספר המשתתפים

62 משתתפים הם 31% מכלל המשתתפים. נסמן ב־n את מספר המשתתפים:

📐 כלל: חלק מתוך כמות

אחוז · n = חלק

נציב אחוז = 0.31 , חלק = 62:

0.31 · n = 62

n = 620.31 = 200

✅ פתרון סופי: 200 משתתפים

📐 כלל: חלק מתוך כמות

חלק = אחוז · כמות כוללת

סעיף ד – האם דני קיבל מדליה?

המדליה ניתנה ל־2% העליונים. נצבור אחוזים מהקצה הימני של הגרף:

📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמלית

0.5% + 1.5% = 2%

כלומר מי שקפץ יותר מ־1.8 מטר קיבל מדליה. דני קפץ 1.73 מטר:

1.73 < 1.8

✅ פתרון סופי: לא, דני לא קיבל מדליה (1.73 נמוך מ־1.8)

📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמלית

כל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)

סעיף ה – דני או אריאל?

נחשב את התוצאה של אריאל מציון התקן שלו. ציון תקן 2.4 פירושו 2.4 סטיות תקן מעל הממוצע:

📐 נוסחה: ערך מתוך ציון תקן

x = ממוצע + z · סטיית תקן

נציב ממוצע = 1.4 , z = 2.4 , סטיית תקן = 0.2:

x = 1.4 + 2.4 · 0.2

x = 1.4 + 0.48 = 1.88

אריאל קפץ 1.88 מטר, ודני 1.73 מטר:

📐 נוסחה: ערך מתוך ציון תקן

x = ממוצע + z · סטיית תקן

סעיף ה – דני או אריאל? · המשך

אריאל קפץ 1.88 מטר, ודני 1.73 מטר:

1.88 > 1.73

דרך נוספת: ציון התקן של דני הוא 1.73 − 1.40.2 = 1.65, וזה פחות מ־2.4.

✅ פתרון סופי: אריאל השיג תוצאה גבוהה יותר (1.88 מטר)

📌 סיכום התשובות

א (1)

1.4 מטר

א (2)

0.9 , 1 , … , 1.9 (קפיצות של 0.1)

31%

200 משתתפים

לא

אריאל

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא